Sull’errore di Cantor e la
numerabilità dell’insieme R
Leonardo Checchi
Dallo scritto “Uber eine elementare Frage der Mannigfaltitegkeitslehre”
presentato da Georg Cantor al congresso della Società Matematica
Tedesca nel settembre 1891 :
“Sia M l’insieme di tutti i sistemi elementari (E1, E2, E3, …, En, …) formati con i due caratteri m e
w. Ossia ogni elemento di M è una successione
infinita della forma :
E = (E1, E2, E3, …, En, …)
dove ciascun En è uguale a m oppure a w.
Affermazione : Tale insieme M non ha la potenza
della serie numerica 1, 2, 3, …, n, …
Supponiamo per assurdo che M sia numerabile,
ovvero che esista una numerazione completa dei
suoi elementi :
E1 = (a11, a12, a13, …)
E2 = (a21, a22, a23, …)E3 = (a31, a32, a33, …)
dove ogni anm è m oppure w. Costruiamo ora una
nuova successione B = (b1, b2, b3, …) nel modo
seguente : per ogni indice n, poniamo bn diverso
da ann. Ossia se ann = m allora bn = w se ann = w
allora bn = m.
La successione così costruita appartiene a M (è
una successione infinita di m e w), ma non
coincide con alcun En della lista : differisce da E1
nella prima posizione, da E2 nella seconda, da E3
nella terza, e, in generale, da En nell’n-esima
posizione. Questo contraddice che la lista fosse
completa.
Conclusione : M non è numerabile.”
Con questa dimostrazione, detta Diagonale,
Cantor afferma di dimostrare la non numerabilità
di questi insieme M tra i quali, come corollario, vi
è l’insieme dei numeri reali R scritti in forma
binaria. Questa dimostrazione è sbagliata e, anzi,
dimostra l’esatto contrario della conclusione che
ne trae Cantor. In questo scritto, oltre a
dimostrare qual’è l’errore nella dimostrazione, si
avanzano alcune ipotesi, ritenute verosimili
dall’autore, riguardo alla genesi di questo errore
perché questa può spiegare il fatto che né Cantor
né il mondo matematico in generale, dalla
presentazione della sua dimostrazione, non abbia
corretto l’errore. Esso è, infatti, un errore di
percezione.
Cercando di voler ricostruire il processo dipensiero che ha portato Cantor al suo teorema,
una cosa da tenere in considerazione è che
l’intenzione primaria di Cantor, certamente in
periodo molto precedente alla stesura del suo
testo del 1981, era esattamente l’opposto :
dimostrare, cioè, la numerabilità di R. Questa,
forse, era una necessità sentita nell’ambiente
matematico del suo tempo, forse a
completamento della dimostrazione della
numerabilità di Z e di Q. E’ verosimile pensare,
che sia da questa risoluzione in mente che Cantor
ha l’idea di dimostrare la possibilità di scrivere la
lista completa dei numeri reali presenti
nell’intervallo [0, 1]. Se ciò, infatti, fosse possibile
la correlazione di biunivocità tra R e N, cioè la
condizione di numerabilità di R, si otterrebbe
automaticamente semplicemente associando ad
ogni numero reale tra 0 e 1 il numero naturale
che indica la sua posizione nella lista. Per
estensione del metodo si dimostrerebbe la
numerabilità di qualsiasi altro intervallo di R e,
quindi, di tutto R. Ed è probabilmente
immaginando di scrivere questa lista che nasce la
percezione errata sulla quale costruisce i suoi
numeri diagonali, elemento fondamentale della
dimostrazione, poi, della non numerabilità di R.
Volendo continuare a fare ipotesi di una qualche
verosomiglianza su ciò che dirige il pensiero di
Cantor in questo processo, si potrebbe pensare
che Cantor abbia immaginato di scrivere questa
lista e, forse, che anche ne abbia effettivamente
scritto qualche elemento per studio o per fissare
le idee. Comunque sia, trovandosi davanti aquesto compito, chiunque si immagina di dover
scrivere una lista di numeri costituiti da un
numero infinito di cifre. Per formalizzare questo
pensiero immaginativo, sopra la prima riga di
questa tabella possiamo pensare di enumerare le
posizioni di ciascuna cifra dei numeri della tabella.
Partendo così da 1 per la prima posizione; 2 per la
seconda, ecc., quando arriviamo a indicare la
posizione dell’ultima ipotetica cifra, potremmo
scriverci, in senso astratto, il valore ∞ .
Come detto è solo una formalizzazione di un
pensiero.
La lista dei numeri, poi, procede verticalmente
con il numero E1 nella posizione 1, poi E2 nella
posizione 2, ecc., fino, anche qui, a E ∞ nella
posizione ∞ .
Nel pensiero di Cantor vi è così una tabella di
larghezza infinita e altezza (o profondità) infinita.
Non potendo dare nessun valore a questi due
infiniti, la cosa più normale e semplice è quella di
pensare che siano uguali. Quella alla quale si
trova davanti Cantor nello studiare il suo
problema è, quindi, una griglia quadrata. Tutte
queste supposizioni ritengo siano molto verosimili,
ovviamente con tutte le possibili precisazioni
dovute a pensare effettivamente cosa pensasse
Cantor, perché è solo così, nel caso cioè di un
insieme di n numeri di n cifre ciascuno, per
limitarci al caso finito, che il suo meccanismo dei
numeri diagonali può funzionare o meglio, può
sembrare che funzioni. Infatti, anche se la
generalizzazione del caso finito n*n al caso
∞ * ∞ si spiegherà solo successivamente inquesto scritto, se vogliamo che il numero
diagonale che creaimo appartenga anch’esso
all’insieme dei numeri di n cifre, deve anch’esso
essere costituito da n cifre e perché non risulti poi
uguale a nessuno degli n numeri da cui sono state
prese le sue cifre e, contemporaneamente non
appartegna alla lista, l’unica condizione sufficiente
è che la lista sia formata esattamente da n
numeri. Ma questo caso non si verificherà mai se,
come ipotesi, imponiamo che la lista che abbiamo
scritto debba essere completa, se, cioè,
intendiamo di aver scritto in essa tutti i numeri
reali di n cifre, sempre restando nel caso finito.
Infatti basta applicare la semplice formula
combinatoria che calcola tutte le posssibili
permutazioni di n cifre (Cantor usa il codice
binario) per cui risulta che la lista completa di tali
numeri è pari a 2n
( 10n
in codice decimale). Ma,
ovviamente, Cantor sapeva benissimo questa cosa
e ciò che, invece, l’ha tratto in inganno, è che non
pensava di avere a che fare con un insieme finito
di cifre, ma infinito e, certamente, non riteneva, e
probabilemente nemmeno l’ha presa in
considerazione applicata al caso infinito, che la
formula di calcolo di tutte le possibili permutazioni
di un numero d n cifre valesse anche per una
successione di infinite cifre. Ma, come di dimostra
ora, è esattamente questo che succede.
La dimostrazione è del tutto analoga a quella
basilare con la quale si dimostra l’infinità dei
numeri naturali. Pensando ai numeri binari per
fissare la trattazione, questa legge è vera per il
caso di una cifra, cioè n=1 e 21
possibili numeri intotale. Supposto 2n
gli elementi dell’insieme di
numeri formati da n cifre, con n+1 cifre si ha
2x2n=2n+1 numeri. Questo, appunto, vale per
qualsiasi n comunque lo si faccia aumentare. Si
può allora usare il simbolo di ∞ per astrarre
questa formula con lo specifico significato che a
quel simbolo è possibile sostituire un qualsiasi
valore di n grande a piacere e la formula rimarrà
comunque valida. Ciò che si ottiene è che la lista
totale di numeri reali compresa tra 0 e 1 non sarà
allora costituita da infiniti numeri ma bensì da
2
∞
numeri. Per maggiore chiarezza espositiva,
tornando al caso finito, allora, il metodo dei
numeri diagonali di Cantor dimostra certamente
che qualsiasi numero diagonale non è uguale a
nessuno degli n numeri dai quali ha tratto le cifre
ma sarà certamente uguale a uno dei restanti
2
n−n numeri della lista veramente completa in
quanto anch’esso una permutazione di n cifre.
Così, quello che succede è che il teorema di
Cantor dimostra, in realtà, esattamente la
conclusione opposta a quella tratta da lui e, cioè,
che l’insieme dei numeri reali R è
numerabile.
Da queste considerazioni, si possono poi ricavare
altre due importanti risultati. Il primo è la
possibilità di calcolare esattamente quanti sono i
numeri reali in tutto il suo insieme.
Andando per gradi, infatti, abbiamo visto che tutti
i numeri reali tra 0 e 1 sono, usando ora il sistema
decimale, 10∞
(si preciserà ancora meglio e piùapprofonditamente nel seguito dello scritto il
significato di questi infiniti). Tutti i numeri reali
appartenenti a questo intervallo [0, 1) avranno
tutti la parte intera uguale a 0. L’infinitò delle sue
cifre, allora, sarà solo quella delle cifre decimali
minori di 1. Se avessi preso l’intervallo [0, 10)
avremmo usato una cifra in più, quella dell’unità.
Il calcolo esatto, allora, dei suoi elementi sarà, più
propriamente 10(∞+1)
. L’uso di questo esponente
ha senso solo nel confronto tra la numerosità dei
due intervalli, ovviamente. Aumentando una cifra
per volta si arriverebbe, infine, al numero totale di
cifre di ogni numero reale, e sarà uguale per ogni
numero reale, finito o infinito. Basta infatti
aggiungere a questi ultimi un’infinità di zeri non
significativi sia in alto che in basso (immaginando
di scriverli, ad esempio, su di una retta in senso
verticale) per ottenere che tutti i numeri reali
abbiamo lo stesso numero di cifre. Questo numero
di cifre sarà allora, aritmenticamente, 2∞ e gli
elementi totali dell’insieme dei numeri reali sarà
10(2∞)
.
Prima di riportare la seconda e più importante
conclusione che si può ricavare da tutto ciò,
fermiamoci a spiegare meglio l’uso di questi
infinti.
Certamente il numero infinito più famoso è π.
Se ci chiedessimo quanti π esistono saremmo
certamente tentati di rispondere uno solo. Se
ci pensate meglio, però, sapete che, in realtà,
ne esistono infiniti. Per fare un rapido calcolomentale di una misura, ad esempio,
potremmo usare 3 come sua massima
approssimazione. Oppure 3,1 o 3,14. Ma
questi tre numeri non sono ovviamente lo
stesso numero, perché 3<3,1<3,14 ecc.
Esiste, cioè, un π diverso per ogni
approsimazione numerica che possiamo usare
e, anche, non potremo mai usare che una sua
approssimanzione. Cosicché si vede che il
numero π, in realtà non esiste come numero e
dire che ha un numero infinito di cifre non è
da intendere riferito al numero, bensì alla
possibilità di eseguire, senza mai terminarla,
la funzione che ne determina via via tutte le
cifre che vogliamo trovare, cioè la divisione
tra C e r. Il simbolo π, allora, è il concetto
astratto del numero che intende
simboleggiare. Succede però, che questo
numero astratto π può essere usato senza
nessuna limitazione al pari di ogni sua
approssimazione nei calcoli, nelle formule, nei
teoremi, ecc. Possiamo infatti usarlo per
calcolare sin(π/6)=1/2 e trovare, come qui, il
risultato esatto. Nella stessa identica maniera
vanno pensati e possono essere usati, in
questa trattazione, questi esponenti
all’infinito.
Si arriva, così, all’ultimo e più importate
risultato di questo lavoro. E, cioè, la possibilitàdi affermare che non solo R è numerabile ma
che tra l’insieme R dei numeri reali e
l’insieme Z dei numeri interi vi è una
totale identità.
Abbiamo considerato prima tutti i numeri reali
costituiti dallo stesso numero di cifre e questo
numero è pari, come visto, a 2∞ con infinite
cifre intere e infinite cifre decimali. Nei sistemi
di numerazione posizionale ciò corrisponde a
moltiplicare (astrattamente) la posizione della
massima cifra più significativa in assoluto e
quella della minima cifra significativa in
assoluto rispettivamente per 10∞
e 10−∞
. E’
sufficiente allora moltiplicare ciascun numero
reale per il reciproco di questa seconda
potenza, cioè per 10∞
che la posizione meno
significativa di ogni numero reale diventa la
stessa di quella dei numeri interi, cioè 100
e,
per conseguenza tutte le altre fino ad arrivare
a quella più significativa in assoluto che sarà
10(2∞)
. Così, per lo stesso calcolo fatto sopra,
i numeri interi saranno anch’essi, tutti, formati
da 2∞ cifre, cosicché anche la numerosità dei
numeri interi sarà 10(2∞)
come i reali e, in
questo caso si, questi sue infiniti vanno
considerati numericamente identici.
Si vede da ciò che si determina una totale
corrispondenza tra ogni numero reale ed il
relativo numero intero e che essi sono lo
stesso identico numero si dimostra in base alTeorema Fondamentale dell’Aritmentica
secondo cui ogni numero ha una e una sola
combinazione di fattori prima che lo genera.
Per fare un banale esempio, il numero 14 e il
numero 0,00014 sono entrambi dati dal
prodotto dei numeri primi 2 e 7. l’unica cosa
che cambia è che il prodotto viene moltiplicato
per un fattore diverso, che potremmo
chiamare Unità, pari a 100
, nel primo caso (a
questa Unità potremmo dare il nome, data la
sua specificità, di Unità Naturale), e 10-5 nel
secondo.
Per completezza, potremmo dare un nome
specifico a quella che andrebbe considerata
come l’Unità (Astratta) Fondamentale, cioè
10−∞
.
L’introduzione di queste Unità risulta poi molto
utile per dimostrare, come corollario, un
ulteriore risultato ricavabile da quanto scritto
e, cioè, che la densità di R è identica a
quella di ogni altro insieme numerico
numerabile.
Se infatti vogliamo misurare la densità di due
insiemi numerici, siano R e N, e ci limitiamo
per far questo all’intervallo [0, 1), sappiamo
che esso, inriferimento all’insieme N,
costituisce il più piccolo intervallo (o
sottoinsieme non vuoto) ricavabile da N in
quanto tra 0 e 1 naturali non può esservi
nessun altro naturale ed esso rappresenta lamisura stessa dell’Unità Naturale definita
prima, cioè 100
. L’infinitamente maggiore
densità di R, derivata dal sapere che, invece,
nell’intervallo di estremi reali, in questo caso,
[0, 1) i numeri reali contenutivi sono infiniti.
Questo è certamente vero ma dipende da
quello che possiamo chiamare fattore di scala
il cui effetto, per dare come esempio un
paragone pratico, è identico a quello di
misurare un voltaggio elettrico usando
tarature diverse di un multimetro. Il valore del
voltaggio sarà sempre uguale ma, in base
all’unità di misura della taratura scelta,
cambia la posizione della virgola decimale.
Volendo quindi confrontare le densità dei due
insiemi R e N si deve tener conto che
l’intervallo [0, 1) di numeri naturali deve
essere messo in relazione con il
corrispondente intervallo [0, 10−∞
), il minore
possibile non vuoto ricavabile da R. La
numerosità di questi due intervalli è
esattamente la stessa. Per proiezione, allora,
se calcoliamo la densità dei numeri R
nellintervallo (reale) [0, 1), esso corrisponde
all’intervallo naturale [0, 10∞
). Ciò si intuisce
immediatamente visualizzando i due intervalli
in questo modo. Pensando di voler scrivere su
di una retta tutti i numeri reali compresi
nell’intervallo [0, 1), scrivendoli in verticale
equidistanziati tutti da una distanza pari a 1(mm, micon, nanometri…) quello che
immaginativamente succederebbe è che,
graficamente, la posizione dell’estremo destro
dell’intervallo si sposterebbe infinitamente a
destra fino ad occupare la posizione 10∞
sulla
retta, corrispondente all’intervallo di numeri
naturali [0, 10∞
).