La tabella che vedete sopra l’ho chiamata “Tabella dei prodotti amici di n” ma si poteva anche chiamare “Tabella di composizione dei numeri naturali”. Per ogni numero n, infatti, vengono messi, nell’ordine dei naturali, tutti i prodotti che si ottengono dai numeri amici di n. Se mai vorreste ritornare sui banchi della prima elementare, durante la prima lezione sull’addizione, ricorderete che i numeri amici di 10 sono tutte quelle coppie di numeri tra 1 e 9 che sommati tra loro danno come risultato 10. I prodotti amici di n si ottengono nello stesso modo cambiando il tipo di operazione – prodotto invece di somma – ed estendendo il procedimento a qualsiasi numero naturale n. Le coppie di fattori dei prodotti amici di n sono tutte quelle coppi di numeri naturali da 1 a n-1 che sommati danno come risultato n.
Perché mi sembra interessante questa cosa? Se date un occhiata alla tabella sembrerà anche a voi di scorgere una notevole regolarità e ripetitività rispetto alla infinita lista monotona e indifferenziata con cui si è soliti pensare ai numeri naturali.
Studiandola bene, magari andando anche molto oltre il piccolissimo limite del quadrato di 11 di questa tabella su mostrata, limite dovuto a problemi di spazio per un eventuale stampa, io credo che con strumenti elementari, come, forse, le formule per calcolare le combinazioni di n numeri, si possano trovare risultati notevoli come, forse, una formula per calcolare esattamente il numero di numeri primi inferiori a n (o, forse, n^2).
Una ben visibile regolarità di cui parlavo è il fatto che le distanze, o differenze, tra i prodotti di uno stesso numero n, insiemi che potremmo definire “famiglie” o ” gruppi”, sono sempre gli stessi, per tutti i numeri naturali con la differenza tra n pari, per cui le distanze tra un prodotto e il successivo, andando dal massimo verso il basso, sono sempre quadrati (1, 4, 9, ecc.), in accordo con il teorema di decomposizione di Fermat, e n dispari dove, nello stesso ordine di esame, le differenze sono multipli di 2 (2, 4, 6, 8, ecc.)